从斩杀线到自然常数e
最近在关注斩杀线理论，大意是有37%的美国人会被斩杀，美国普通家庭在高生活成本、高负债、低储蓄状态下，一旦遭遇失业、疾病、意外支出等冲击，其财务状况会迅速跌破一个不可逆的临界点，触发一系列连锁负面反应，最终被美国社会斩杀。在这里我们需要注意的一个细节是37%这个数字，它余数学常数e的倒数1/e（约36.79%）高度吻合。这促使我对自然常数e越来越感兴趣。
e的数学定义
自然常数是一个数学常数，其数值约为2.71828。它在实数域中，是一个无限不循环小数，且是一个超越数。它以著名数学家欧拉 (Leonhard Euler)的名字命名。下面几种定义在数学上是完全等价的，它们从不同角度（增长极限、函数特性、几何意义）揭示了同一个数学常数的本质。e 与虚数单位 i、圆周率 π 通过欧拉公式联系在一起，被赞誉为数学中最优美的定理之一 。
欧拉公式 e^(iπ) + 1 = 0
| 定义方式 | 数学表达式 | 核心思想 |
|---|---|---|
| 极限定义 | e = lim (n→∞) (1 + 1/n)^n | 描述持续复利增长的极限值 。 |
| 级数定义 | e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... | 将 e 表示为所有阶乘的倒数之和，便于理论分析和数值计算 。 |
| 函数性质定义 | (d/dx) e^x = e^x** | e 是唯一一个其导数等于自身的指数函数的底数 。 |
| 积分定义 | ln(x) = ∫(1 to x) (1/t) dt, 则 e 是满足 ln(e) = 1的数 | 通过自然对数函数（1/t 的积分） 来定义 e 。 |
普通人怎么理解e？
想象你有1块钱，存入银行，年利率100%。
- 一年存一次：1元变成2元（1+100%）
- 半年存一次：1元变成2.25元（先50%利息，再50%利息）
- 每月存一次：1元变成约2.61元
- 每天存一次：1元变成约2.71元
- 每秒存一次：1元变成约2.71828元
存钱次数越多，收益越大，但增长越来越慢，最终会稳定在2.71828倍，不会无限增长。这就是e的"自然"所在——它不是人为设计的，而是连续增长的自然极限。
蛋糕每天增长的简单计算
数学不好的人可能很难理解，你可以想象你有一块蛋糕，每天把它切成365小块，然后把每小块的1/365加到蛋糕上，让我们用最简单的数字来展示这个"蛋糕增长"过程：
- 初始蛋糕 = 1块
- 每天增长：把蛋糕切成365小块，然后把每小块的1/365加到蛋糕上（即每天增长1/365 ≈ 0.274%）
| 天数 | 蛋糕总量 | 每天加的量 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 第1天 | 1.00274 | 0.00274 | 1块 + 1/365块 = 1.00274块 |
| 第2天 | 1.00549 | 0.00275 | 1.00274块 + 1.00274×1/365 ≈ 1.00549块 |
| 第3天 | 1.00824 | 0.00276 | 1.00549块 + 1.00549×1/365 ≈ 1.00824块 |
| 第4天 | 1.01101 | 0.00276 | 1.00824块 + 1.00824×1/365 ≈ 1.01101块 |
| 第5天 | 1.01379 | 0.00277 | 1.01101块 + 1.01101×1/365 ≈ 1.01379块 |
| 第6天 | 1.01658 | 0.00278 | 1.01379块 + 1.01379×1/365 ≈ 1.01658块 |
| 第7天 | 1.01939 | 0.00279 | 1.01658块 + 1.01658×1/365 ≈ 1.01939块 |
| 第8天 | 1.02220 | 0.00279 | 1.01939块 + 1.01939×1/365 ≈ 1.02220块 |
| 第9天 | 1.02503 | 0.00280 | 1.02220块 + 1.02220×1/365 ≈ 1.02503块 |
| 第10天 | 1.02786 | 0.00281 | 1.02503块 + 1.02503×1/365 ≈ 1.02786块 |
| 1000天 | 2.71692 | - | (1+1/365)^1000 ≈ 2.71692 |
| 10000天 | 2.71814 | - | (1+1/365)^10000 ≈ 2.71814 |
| 100000天 | 2.71826 | - | (1+1/365)^100000 ≈ 2.71826 |
| 无限 | 2.71828 | - | e ≈ 2.718281828459045 |
你能观察到的现象：
- 增长越来越慢：从第1天到第10天，每天增长约0.0027-0.0028块；而到1000天时，每天增长量已经变得非常小。
- 趋近于e：随着天数增加，蛋糕总量越来越接近e ≈ 2.71828，但永远不会超过它。
蛋糕为什么不能无限增长
学过高等数学的人应该很擅长理解这种逻辑。但是普通人可能会有疑问：为什么最多只能增长到2.71828，而不是3、6、9等其他某个数字？我这里尝试提供一个适用于普通人的解释：
增长的动力与阻力：在“利滚利”的增长中，存在一种类似“动力”与“阻力”的平衡。增长的动力来自于利息本身产生利息。但随着基数变大，每单位增长所能带来的“边际收益”是在递减的（比如，从1块增长到2块是翻倍，但从100块增长到101块，增幅感觉就很小了）。这种“收益递减”效应就像一个无形的阻力。
e 就是平衡点：当增长进行到大约原始量的2.71828倍时，这种“动力”和“阻力”达到了完美的平衡，使得增长几乎停滞，无限逼近这个天花板。它不是一个随意设定的数字，而是增长本身规律所决定的必然结果。
或者再直接一点的类比，我们都知道圆周率π的值在3.1415916和3.1415917之间，南北朝时期的中国人祖冲之 就已经能够意识到并测算出来，圆周率不会随着圆的变化而变化。
为什么e被称为"自然常数"？
自然界中，许多现象都遵循"变化率与当前值成正比"的规律：
- 生物繁殖：种群数量越大，增长速度越快
- 放射性衰变：剩余原子数量越多，衰变速度越快
- 细菌生长：细菌数量越多，分裂速度越快
这些现象的数学描述都是：dy/dt = λy，解这个方程，我们得到：y = y₀e^(λt)
这意味着，以e为底的指数函数是唯一满足"变化率等于当前值"的函数。这正是e被称为"自然"的根源。
它的增长规律无比纯粹：事物当前的大小，直接决定了它下一刻变化的快慢。这种性质使得它在微积分、微分方程等描述动态变化的理论中，成为最简洁、最核心的基石，远超其他人为选择的底数（如10或2）带来的便利 。
- 鹦鹉螺的贝壳：其隔室的生长方式恰好遵循等角螺线，这种结构能帮助它在生长过程中保持形态的均衡和高效 。
- 向日葵的花盘：种子排列形成的螺旋图案也蕴含了e，这种排列方式能在有限空间内最有效地容纳更多种子 。
- 宇宙中的星系：像台风、漩涡，甚至银河系等旋涡星系的旋臂，也近似于等角螺线 。
这就像圆周率π描述了圆的几何特性，e描述了连续增长的数学特性。e不是人为选择的，而是自然界在连续变化时自然浮现的数字。
斩杀线为什么是37%？为什么是1/e？
斩杀线理论的核心观点是有37%的美国人会被斩杀，为什么是37%？为什么是1/e？
最优停止问题
假设你要面试n个候选人，必须立即决定是否录用，不能回头。如何最大化选到最佳候选人的概率？因为latex公式在这里不能很好的展示，我使用数学班的概率公式来说明。
- 成功概率的公式是P_r = (r/n) * Σ(1/(k-1))，
- 当n很大时可以近似为-x ln(x)，
- 求导后得到最大值在x=1/e处。
可以看到，1/e 是数学计算出的最优解，是这个问题本身结构所固有的特性。
1/e 的哲学隐喻
斩杀线理论的核心观点是有37%的美国人会被斩杀，也就是e的倒数，1/e。从数学上讲，分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数
倒数的含义是什么？
选择与放弃的平衡
1/e代表了在不确定性中，"探索"与"利用"之间的最优平衡点。在"斩杀线"理论中，这被解读为社会系统对"37%的人放弃其财务安全"的计算。
系统理性与人性的冲突
1/e是系统追求效率的数学表达，但它的"结果"却是社会的残酷现实。这体现了系统理性与人性关怀之间的根本冲突：
- 系统计算出"37%的人可以被牺牲"是"最优解"
- 但对这37%的人来说，这却是"非理性"的悲剧
自然常数的双重性
e被称为"自然常数"，因为它描述了自然界中连续增长的规律。但1/e却成为了社会"非自然"（即非人道）的象征：
- e代表"连续增长"的潜力（如复利、种群增长）
- 1/e却代表"系统性放弃"的阈值
1/e在"斩杀线"理论中的隐喻
在"斩杀线"理论中，1/e被赋予了深刻的隐喻意义：
- 1/e = 36.79%：美国社会中处于"财务观察期"的人口比例
- "观察期"：无法积累足够应急资金，但又没有达到"破产"状态的脆弱阶段
- "选择期"：可以应对意外事件，不会因一次挫折而"被斩杀"的财务安全阶段
当系统设计为"让37%的人停留在观察期"，这实际上是在说："为了系统效率最大化，我们允许37%的人处于随时可能'被斩杀'的脆弱状态。"
美国是一个精心设计的，无限逼近 “自然” 的丛林社会？
37%的美国人会被斩杀，就如同上文提到的自然现象那样，这是一个人为设计的、尽可能复现自然现象、遵循自然法则的丛林法则？我们再来查看一遍这些遵循自然常数的现象：
- 鹦鹉螺的贝壳：其隔室的生长方式恰好遵循等角螺线，这种结构能帮助它在生长过程中保持形态的均衡和高效 。
- 向日葵的花盘：种子排列形成的螺旋图案也蕴含了e，这种排列方式能在有限空间内最有效地容纳更多种子 。
- 宇宙中的星系：像台风、漩涡，甚至银河系等旋涡星系的旋臂，也近似于等角螺线 。
37%的美国人会注定被斩杀，就如同台风、漩涡、银河系等旋涡星系所蕴含的自然法则那样？
怎么利用e来趋利避害?
在理解了自然常数e，如果你在懂一些概率学，你就不难发现一个现象：总是会有37%的人会"不幸"。更严谨一点的说法是：在随机分配中总是会有约37%的人一无所有。
想象有100个人围成一圈，桌上正好有100块蛋糕。现在规则是：每块蛋糕都闭着眼睛随便扔给一个人——可能有人拿到好几块，也可能有人一块都没拿到。 你可能会觉得：“平均每人一块，应该都饿不着吧？” 但现实很残酷：因为是随机乱扔，总会有一群人一块都没抢到。
如果你真的做这个实验，你会发现： 每次都有大约 36～38个人 一块蛋糕都没拿到； 这个数字非常稳定，不管人数是100、1000还是100万，没分到的人总是占总数的约37%。
当n足够大时，没有人拿到蛋糕的人的比例，趋近于1/e ≈ 0.367879（36.7879%）。
我们这里有更多的和谐、善意、福祉，我们愿意相信 “天命所归，既寿永昌”，但是我们总是要，也应该要追求更好的东西。
- 理解随机分配的规律（蛋糕分配问题），不要担心"我是否属于那37%的倒霉蛋"，而是构建自己的"抗随机性系统"。设计自己的"1/e阈值"：确保你的应急池 > 37%的系统阈值。
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