博弈论基础

主流基础框架

博弈论没有一个所有教材都采用的“八要素”统一清单。更稳妥的入门方式，是先区分博弈模型的基本数据，再讨论由模型派生出来的结果和解概念。

模型基本数据

模型基本数据，回答“这场博弈是什么”。在最常见的非合作博弈框架中，需要依次说明参与人、行动与策略、时序与历史、信息结构、支付函数，以及可选的自然与概率机制。

参与人（Players）

战略参与人集合通常记为

$$N = \{1,\ldots,n\}.$$

$N$ 中的成员是作出战略选择并具有偏好的参与人，可以是个人、企业、国家或算法代理。
数学定义允许 $n=1$；许多相互作用的例子从 $n\geq 2$ 开始，但“至少两名参与人”不是所有博弈定义的必要条件。
自然（Nature）或机会节点表示外生随机机制，不是追求效用最大化的战略参与人。为了记号方便，有些扩展式模型把自然标为 $0$，但这不意味着 $0$ 必须属于战略参与人集合 $N$。

行动与策略（Actions and Strategies）

行动（action）是某个决策节点或历史处的一次具体选择。例如，在某个节点选择“合作”或“背叛”，各自都是一个行动。
策略（strategy）是完整的相机行动计划：它规定参与人在每个自己可能到达的信息集上选择什么行动。因此，策略不是“此刻实际采取的动作”，而是对所有相关情况的预先规定。
在标准式博弈中，参与人的纯策略集合通常记为 $S_i$。每个参与人选择一个策略后，所有人的选择组成策略组合（strategy profile，也称策略轮廓）：

$$S=\prod_{i\in N}S_i, \qquad s=(s_i)_{i\in N}=(s_1,s_2,\ldots,s_n)\in S.$$

这里：

符号	含义
$N=\{1,2,\ldots,n\}$	参与人集合
$S_i$	参与人 $i$ 的纯策略集合
$s_i\in S_i$	参与人 $i$ 选择的一个具体纯策略
$\prod_{i\in N}S_i$	各参与人策略集合的笛卡尔积，即所有可能的策略组合构成的集合
$S$	策略空间，定义为 $S=\prod_{i\in N}S_i$
$s=(s_i)_{i\in N}$	一个具体的策略组合，为每位参与人指定一个策略

因此，$S$ 是“每位参与人各选一个策略”所能形成的全部组合，而 $s$ 是其中一个具体组合。等价地，可以写成

$$\underbrace{s}_{\text{一个策略组合}} = \underbrace{(s_1,s_2,\ldots,s_n)}_{\text{每位参与人各指定一个策略}} \in \underbrace{S}_{\text{所有可能的组合}} = \underbrace{S_1\times S_2\times\cdots\times S_n}_{\text{笛卡尔积}}.$$

例如，若 $N=\{1,2\}$，$S_1=\{U,D\}$，$S_2=\{L,R\}$，则

$$S=S_1\times S_2 =\{(U,L),(U,R),(D,L),(D,R)\}, \qquad |S|=|S_1||S_2|=4.$$

$(U,R)$ 是一个具体的策略组合，因此 $(U,R)\in S$。笛卡尔积的作用是枚举“为每位参与人指定一个策略”的全部可能性；它描述的是组合结构，并不表示参与人的行为在概率意义上相互独立。

给定策略组合 $s$，参与人 $i$ 的其他参与人策略记为

$$s_{-i}=(s_j)_{j\in N\setminus\{i\}}.$$

若参与人 $i$ 改用另一个策略 $s_i'\in S_i$，而其他人的策略不变，新的组合写为 $(s_i',s_{-i})$；纳什均衡正是用这种单方面偏离来定义的。

在扩展式博弈中，纯策略是从参与人的信息集到可行动作的函数。若 $I$ 是参与人 $i$ 的一个信息集，策略需要满足

$$s_i(I)\in A(I),$$

其中 $A(I)$ 是该信息集上可选择的行动集合。它规定了参与人在每个可能到达的信息集上如何行动，即使该信息集在实际进行中没有到达，也必须有相应的计划。

本节中的 $S_i$ 默认表示纯策略集合。若允许随机化，混合策略是纯策略上的概率分布：

$$\sigma_i\in\Delta(S_i), \qquad \sigma=(\sigma_i)_{i\in N}\in\prod_{i\in N}\Delta(S_i).$$

为避免混淆，本文用 $A(h)$ 表示历史 $h$ 处可用的行动，用 $S_i$ 表示参与人的纯策略集合；不把 $A_i$ 同时当作两者。

时序与历史（Sequence and History）

时序描述行动何时发生、哪些历史可能出现，以及每个非终局历史之后由谁行动。

静态博弈（static game）通常表示参与人作出选择时不能观察其他人的本轮选择；这不一定意味着现实时间上的绝对同时。
动态博弈（dynamic game）中，行动顺序和历史会影响后续选择。有限扩展式博弈可用历史集合 $H$、终局历史集合 $Z$ 和参与人函数 $P$ 表示：

$$P:H\setminus Z\to N\cup\{0\}.$$

当 $P(h)=0$ 时，表示历史 $h$ 之后由自然行动。

标准式和扩展式是两种表示方式，而不是简单的“静态”和“动态”的同义词。动态博弈可以转换为标准式表示，但转换可能隐藏行动顺序和信息结构。

信息结构（Information Structure）

完全信息（complete information）表示参与人知道博弈的相关结构，例如参与人、可行策略和支付函数；若随机机制属于模型的一部分，其分布也应属于共同知道的模型数据。它不等于每个人都能观察到实际行动历史。
完美信息（perfect information）是扩展式博弈的性质：每个信息集都是单点集合，因此行动者能区分自己面临的每个历史，通常也就能观察到此前的行动。完美信息与完美回忆（perfect recall）是不同概念。
信息集（information set）是同一参与人无法区分的一组决策节点。同一信息集中的节点必须提供相同的可选行动集合。
不完全信息通常表示参与人对其他人的类型、偏好、支付或可行行动存在不确定性。在共同先验等条件下，Harsanyi 转换可以让自然先抽取类型，再把原问题表示为一个关于模型结构完全已知、但信息不完美的扩展式博弈。

支付函数（Utility and Payoffs）

支付函数的定义域取决于博弈的表示方式：

标准式博弈中，$u_i:S\to\mathbb{R}$ 把策略轮廓映射为参与人 $i$ 的支付。
扩展式博弈中，$u_i:Z\to\mathbb{R}$ 把终局历史映射为参与人 $i$ 的支付。
若参与人使用混合策略，或模型包含自然的随机行动，比较的是期望支付，例如

$$U_i(\sigma,\rho)=\mathbb{E}_{\sigma,\rho}[u_i(z)].$$

支付数值可以代表金钱、成本、概率意义上的效用或其他偏好指标，不一定是现实中的货币。
零和博弈要求对每个结果都有

$$\sum_{i\in N}u_i=0.$$

常数和博弈只要求支付总和为某个常数。一般和（非零和）只表示不满足零和条件，并不表示各参与人的支付相互独立。

在没有随机性的确定性选择中，序数效用可以表达偏好排序；一旦比较混合策略下的期望支付，效用数值还必须具有适合进行期望运算的基数含义。

自然与概率机制（Nature and Probability）

自然的随机行动是可选的模型组成部分，不是每个博弈都必须包含的要素。对有限扩展式博弈，可以令自然节点集合为

$$H_0=\{h\in H\setminus Z\mid P(h)=0\}.$$

在每个自然节点 $h\in H_0$，概率分布为

$$\rho_h\in\Delta(A(h)),$$

所有 $\rho_h$ 合在一起构成自然机制 $\rho$。

自然不根据效用最大化，而是按照模型给定的概率分布行动。
自然抽取类型的先验分布可以写成 $\rho\in\Delta(T)$。在 Harsanyi 转换中，参与人通常知道自己的类型，但不知道其他人的类型；关于类型分布的共同先验是模型假设的一部分。
自然的随机行动与参与人的混合策略不同：前者是模型给定的机会机制，后者是参与人选择的随机化方案。
确定性博弈可以不写 $\rho$；没有显式自然节点，并不意味着该博弈无法研究概率或不确定性。

模型派生对象

派生对象回答“给定这场博弈，可能发生什么，以及哪些策略可以作为解”。它们依赖前面的模型基本数据，通常不应和参与人、策略、支付函数并列放进最小博弈定义。

结果（Outcome）

结果是博弈结束时发生的状态或事件，支付是参与人对该结果的评价，两者不是同一个对象。

在扩展式博弈中，终局历史 $z\in Z$ 可以作为结果的详细表示；若需要更抽象的标签，可以再定义结果映射 $O:Z\to\Omega$。
在纯策略轮廓和确定性行动下，可能得到一个确定的终局；在混合策略或自然行动存在时，策略轮廓通常诱导终局历史上的概率分布，而不是单一结果。
不同结果可以带来相同的支付向量，因此结果与支付函数一般不是一一对应关系。

例如，在囚徒困境中，“甲坦白、乙沉默”是结果描述；“甲判一年、乙判十年”是对该结果的支付描述。

均衡与其他解概念（Equilibrium and Solution Concepts）

均衡不是博弈模型的基本组成部分，而是给定博弈后选择策略的解概念。可以把某类均衡写成一个映射：

$$E_{\mathcal{C}}(G)\subseteq S,$$

其中 $\mathcal{C}$ 表示所采用的解概念。

纳什均衡（Nash equilibrium）要求在其他参与人的策略保持不变时，任何参与人都没有通过单方面偏离提高支付的动机。对标准式博弈的纯策略轮廓 $s^*$，条件为

$$u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*) \quad\text{for every }i\in N\text{ and }s_i\in S_i.$$

混合策略纳什均衡把支付替换为相应的期望支付。有限标准式博弈至少存在一个混合策略纳什均衡，但不保证存在纯策略均衡，也不保证均衡唯一。

子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium, SPE）要求策略轮廓在每个子博弈中都是纳什均衡。它可以排除依赖不可置信威胁的均衡；子博弈必须从单点信息集开始，且不能切开其他信息集。
贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash equilibrium, BNE）用于贝叶斯博弈。参与人的策略要为自己的每一种类型指定行动，每一种类型都应在给定自己的信息和对其他类型的信念下最大化条件期望支付。
颤抖手完美均衡是纳什均衡的一个精炼概念；进化稳定策略（ESS）来自演化博弈中的抗入侵标准。两者都不能简单当作“纳什均衡的同义词”。

常见形式化表示

标准式博弈

标准式（normal form，也称 strategic form）的常用表示为

$$G_{\mathrm{N}}= \left(N,\left(S_i\right)_{i\in N},\left(u_i\right)_{i\in N}\right).$$

其中：

$N$ 是战略参与人集合；
$S_i$ 是参与人 $i$ 的策略集合，$S=\prod_{i\in N}S_i$ 是策略轮廓集合；
$u_i:S\to\mathbb{R}$ 是参与人 $i$ 的支付函数。

结果映射、混合策略和均衡可以在这个模型上进一步定义；它们不是必须额外塞进标准式博弈的基本元组。

扩展式博弈

有限扩展式（extensive form）博弈的一个常用表示为

$$G_{\mathrm{E}}= \left(N,H,Z,P,\left(\mathcal{I}_i\right)_{i\in N}, \left(u_i\right)_{i\in N},\rho\right).$$

其中：

$H$ 是历史集合，$Z\subseteq H$ 是终局历史集合；
$P:H\setminus Z\to N\cup\{0\}$ 指定每个非终局历史之后由谁行动；
$\mathcal{I}_i$ 是参与人 $i$ 的信息集划分；
$u_i:Z\to\mathbb{R}$ 是终局历史上的支付函数；
$\rho$ 是可选的自然行动概率。如果没有自然节点，可以省略 $\rho$。

贝叶斯博弈

贝叶斯博弈（Bayesian game）用于表达参与人对其他人的类型或相关参数存在不完全信息。一个常用的类型空间表示为

$$G_{\mathrm{B}}= \left(N,\left(T_i\right)_{i\in N},\left(A_i\right)_{i\in N}, p,\left(u_i\right)_{i\in N}\right).$$

其中：

$T_i$ 是参与人 $i$ 的类型集合，$T=\prod_{i\in N}T_i$；
$A_i$ 是参与人 $i$ 的行动集合，$A=\prod_{i\in N}A_i$；
$p\in\Delta(T)$ 是类型组合上的先验分布；
$u_i:T\times A\to\mathbb{R}$ 是参与人 $i$ 的类型依赖支付函数；
类型依赖策略通常写为 $s_i:T_i\to\Delta(A_i)$。

在共同先验等条件下，Harsanyi 转换把不完全信息问题表示为模型结构完全已知、但参与人只能观察部分类型信息的博弈。贝叶斯纳什均衡就是在这种类型依赖策略上定义的解概念。

框架对照

层次	对象	常用符号	作用
模型基本数据	参与人	$N$	指定谁作出战略选择
模型基本数据	行动与策略	$A(h)$、$S_i$	指定能做什么以及如何计划
模型基本数据	时序与历史	$H$、$Z$、$P$	指定行动顺序和可能路径
模型基本数据	信息结构	$\mathcal{I}_i$、$T_i$	指定参与人知道什么
模型基本数据	支付函数	$u_i$	指定参与人如何评价结果
模型基本数据	自然与概率机制	$\rho$、$p$	指定外生随机性或类型先验
模型派生对象	结果	$O$、$z$	由策略、时序和随机机制共同产生
模型派生对象	均衡与解概念	$E_{\mathcal{C}}(G)$	在给定模型上筛选策略轮廓

参考资料

John F. Nash Jr., “Equilibrium Points in n-Person Games”, Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950.
H. W. Kuhn, “Extensive Games and the Problem of Information”, 1953.
John C. Harsanyi, “Games with Incomplete Information Played by ‘Bayesian’ Players, Part I. The Basic Model”, Management Science, 1967.
John C. Harsanyi, “Games with Incomplete Information Played by ‘Bayesian’ Players, Part II. Bayesian Equilibrium Points”, Management Science, 1968.
John C. Harsanyi, “Games with Incomplete Information Played by ‘Bayesian’ Players, Part III. The Basic Probability Distribution of the Game”, Management Science, 1968.

符号	含义
\(N=\{1,2,\ldots,n\}\)	参与人集合
\(S_i\)	参与人 \(i\) 的纯策略集合
\(s_i\in S_i\)	参与人 \(i\) 选择的一个具体纯策略
\(\prod_{i\in N}S_i\)	各参与人策略集合的笛卡尔积，即所有可能的策略组合构成的集合
\(S\)	策略空间，定义为 \(S=\prod_{i\in N}S_i\)
\(s=(s_i)_{i\in N}\)	一个具体的策略组合，为每位参与人指定一个策略

层次	对象	常用符号	作用
模型基本数据	参与人	\(N\)	指定谁作出战略选择
模型基本数据	行动与策略	\(A(h)\)、\(S_i\)	指定能做什么以及如何计划
模型基本数据	时序与历史	\(H\)、\(Z\)、\(P\)	指定行动顺序和可能路径
模型基本数据	信息结构	\(\mathcal{I}_i\)、\(T_i\)	指定参与人知道什么
模型基本数据	支付函数	\(u_i\)	指定参与人如何评价结果
模型基本数据	自然与概率机制	\(\rho\)、\(p\)	指定外生随机性或类型先验
模型派生对象	结果	\(O\)、\(z\)	由策略、时序和随机机制共同产生
模型派生对象	均衡与解概念	\(E_{\mathcal{C}}(G)\)	在给定模型上筛选策略轮廓